?

Log in

No account? Create an account
Задача про песочные часы - Евгений Поникаров — LiveJournal [entries|archive|friends|userinfo]
Евгений Поникаров

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Задача про песочные часы [Mar. 22nd, 2018|11:37 am]
Евгений Поникаров
[Tags|, ]

Наткнулся в одной книге на забавную задачу.
Решайте.
Комментарии скрыты.

Имеются две штуки песочных часов - первые на 2 минуты, вторые на 5 минут.
В данный момент в 2-минутных часах некоторая (неизвестная) часть песка уже внизу, в 5-минутных - весь песок внизу.
Можно ли отмерить 8 минут, начиная с данного момента?

UPD. Решения получены, комментарии раскрыты.
LinkReply

Comments:
[User Picture]From: valerylepekhin
2018-03-22 09:12 am (UTC)
Пусть в начале в верхней части 2мин часов песка на время t, в верхней части 5мин часов песка на время 0. Запишем это состояние 2(t)5(0)

1. Момент 0. Переворачиваем 5мин часы. Состояние 2(t)5(5)

2. Момент t. Состояние 2(0)5(5-t). Переворачиваем все часы. Состояние 2(2)5(t)

3. Момент 2t. Состояние 2(2-t)5(0). Переворачиваем 5мин часы. Состояние 2(2-t)5(5)

4. Момент 2t+(2-t). Состояние. 2(0)5(5-2+t). Переворачиваем 5мин часы. Состояние 2(2)5(2-t)

5. Момент 2t+2×(2-t)=4. Состояние 2(t)5(0). Вернулись в исходное.

Повторяем. Отмерили 8 минут. Вроде получилось :)

(Reply) (Thread)
[User Picture]From: miollnyr
2018-03-22 11:22 am (UTC)
Можно.
В начале у нас конфигурация часов (2 - x, x), (0, 5).

1) Запускаем вторые часы.
Через (2 - x) минут первые часы остановятся, конфигурация стала (0, 2), (3 + x, 2 - x).
Всего прошло (2 - x) минут.

2) Запускаем первые часы, переворачиваем вторые.
Через 2 - x минут вторые часы остановятся, конфигурация будет (x, 2-x), (0, 5).
Всего прошло (4 - 2x) минут.

3) Запускаем вторые часы.
Через x минут первые часы остановятся, и конфигурация будет следующая: (0, 2), (5 - x, x).
Всего прошло 4 - x минут

4) Запускаем первые часы, переворачиваем вторые.
Через x минут вторые часы остановятся, конфигурация будет следующая (2 - x, x), (0, 5).
Прошло 4 минуты.

Таким образом мы отмерили 4 минуты и пришли в ту же конфигурацию что была в начале.
Если мы повторим действия снова, получим 8 минут.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: fiviol
2018-03-22 08:16 pm (UTC)
1. Включаем 5-минутные часы, ждем, когда в 2-минутных досыплется песок до конца - какое-то время x.
2. Переворачиваем 5-минутные и включаем 2-минутные, отмериваем на них снова время х.
3-4. Повторяем шаги 1-2, в результате прошло время 4x, в пятиминутных весь песок внизу, 2-минутные в том же положении, что и вначале.
5-8. Повторяем шаги 1-4, но теперь четырежды отмеряем не время x, а время 2-x.

Суммарно прошло 4х+4(2-х) = 8 минут.
(Reply) (Thread)
From: (Anonymous)
2018-03-22 11:32 pm (UTC)

Решение

Пусть в 2-х минутных часах с одной стороны x, с другой 2-x; пусть x > 1 (ну или x > 2-x)
T2M5MДействия
0x5ставим одновременно стекать 2 со стороны x (большей) и 5
x25-xкак вытекло, переворачиваем 2
2+x23-xкак вытекло из 2, переворачиваем и 2 и 5. Заметим что 3-x < 2
5x-15как вытекло из 5, переворачиваем 5 (2 продолжает течь)
4+x*4-xкак вытекло из 2, переворачиваем 5 (2 больше не нужен)
8

Отличная задачка, по ощущениям - на теорию групп. Не обидитесь если сделаю repost на английском в linkedin?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: e_ponikarov
2018-03-23 09:35 am (UTC)

Re: Решение

Да, конечно, где угодно. Это же не моя задача, прочитал в какой-то бумажной книге, которую не вспомню уже.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: al_pas
2018-03-23 10:41 am (UTC)
Часы можно «останавливать» (класть на бок)?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: e_ponikarov
2018-03-23 11:33 am (UTC)
Нельзя.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: knop
2018-03-23 12:02 pm (UTC)
Жень, а что за книга?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: e_ponikarov
2018-03-23 12:19 pm (UTC)
А не помню. Сборник задач по математике. Видел в киоске на физфаке универа, полистал, просто запомнил одну задачу - уж очень необычной показалась.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: knop
2018-03-23 01:00 pm (UTC)
Я просто знаю автора задачи и понимаю, что ее придумали относительно недавно. Вот и интересно, в какую книгу уже успели включить
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: e_ponikarov
2018-03-23 02:10 pm (UTC)
Ну, я видел в начале февраля. Когда я снова доберусь до физфака, не знаю. Книжка небольшая по формату и не толстая. Автор один вроде.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: esg777
2018-03-24 10:09 am (UTC)
Вроде можно.
1. Пусть в 2-минутных вверху песка на время Т осталось к началу измерения. Переворачиваем 5-минутные.
2. Через время Т (когда верх 2-минутных опустеет) переворачиваем все часы. Вверху 5-минутных теперь песка на Т.
3. Когда верх 5-минутных опустеет, мы отмерили время 2Т.
Теперь вверху 2-минутных песка на (2-Т), верх 5-минутных пуст. Повторяем пункты 1-3 и отмеряем еше 2(2-Т). Итого отмерено
2Т+2(2-Т)=4
Повторяем все еще раз и отмеряем 8.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: jerry_the_mouse
2018-03-24 11:20 pm (UTC)
Можно:)
Например, так - переворачиваем часы на 5 минут и ждем, пока ссыплется оставшаяся в часах на 2 минуты часть песка (обозначим ее 2-х). Потом снова переворачиваем часы на 2 и на 5. Когда в часах на 5 закончится эти самые 2-х песка, снова переворачиваем часы на 5 и оставляем, пока не ссыплется весь песок в 2. (это будет тот самый искомый х, который нам неизвестен). Как только в 2 ссыпался весь песок, снова переворачиваем пятерку и высыпаем этот х. (двойку не трогаем). Затем просто два раза переворачиваем двойку, отсчитывая оставшиеся 4 минуты. Итого получаем 2-х+2+х+4=8.
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: saarak
2018-03-28 02:37 pm (UTC)
1. "Запускаем" (то есть ставим вертикально) те и другие часы (какой стороной кверху 2-часы - неважно). Через х времени весь песок в 2-часах окажется внизу.
В этот момент
2. Переворачиваем те и другие часы. Через х времени весь песок в 5-часах окажется внизу.
Замечание. Здесь предполагается, что расход песка в любых часах постоянен, что к реальным часам может и не иметь отношения. Решения без этого предположения я не знаю.
Пока мы отмерили 2х времени.
3. Повторяем операции 1-2, перевернув 2-часы другой стороной (то есть просто не меняя их положения после операции 2). Отмерится еще 2(2-х) времени, а всего - 4.
4. Повторяем операции 1-3.
Всё!
Примечание. Если разрешить "останавливать" часы на время, то после первого отрезка в (2-х) времени можно перевернуть ТОЛЬКО 5-часы. Они отмерят еще раз (2-х). Оставшиеся 4 минуты - это дважды полный заряд 2-часов. Кстати, так можно получить и 6 минут (а первым способом - вряд ли).
(Reply) (Thread)